线性代数 Linear algebra

Concepts

Euclidean vector

Three dimensional Euclidean sapce ( $R^{3}$ )

$a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) a = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$

N dimensional Eculidean sapce ( $R^{n}$ )

Column vector or row vector

$a = a_{1} a_{2} a_{3} = [a_{1}, a_{2}, a_{3}]^{T}$

Diagonal matrix 对角矩阵

N阶方阵

$a_{1} 0 ⋮ 0 0 a_{2} ⋮ 0 \dots \dots ⋱ \dots 00 ⋮ a_{n}$

称之为对角矩阵，简称对角阵，记为 $d ia g (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ .

当 $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ 时，这个数量矩阵称之为n阶单位矩阵，简称单位阵，记为 $E_{n} 或 E$

定义: 两个矩阵的行数列数都相等，称为同型矩阵、对应位置上的元素也相等称矩阵 $A$ 和 $B$ 相等, 记作 $A = B$ .

矩阵的加法和矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算:

同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。

$A = (a_{ij})_{m \times n}$ 和 $B = (b_{ij})_{m \times n}$ 是两个同型矩阵，则矩阵 A 与 B 的和记为 A + B，同型矩阵的加法就是两个矩阵对应位置上元素的加法。

k, l 是任意两个数， A, B 是任意两个 $m \times n$ 的矩阵:

只有当第一个矩阵（左边的矩阵）的列数与第二个矩阵（第二个矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘.

矩阵 $A = (a_{ij})$ 是一个 $m \times p$ 矩阵，矩阵 $B = (b_{ij})$ 是一个 $p \times n$ 矩阵， A 与 B 的乘积是一个 $m \times n$ 的矩阵 $C = (c_{ij})$ .

C 的第 i 行第 j 列元素 $c_{ij}$ 由 A 的第 i 行元素与B 的第j列相应元素乘积之和.

$c_{ij} = k = 1 \sum p a_{ik} b_{kj} = a_{i 1} b_{1 j} + \dots + a_{i p} b_{p j}$

注意:

满足运算律:

结合律： $(A B) C = A (BC)$
矩阵乘法对矩阵加法的分配率： $A (B + C) = A B + BC, (A + B) C = A C + BC$
$(k A) B = A (k B)$
$E_{m} A_{m \times n} = A_{m \times n} E_{n} = A_{m \times n}$
$O_{m \times s} A_{s \times n} = O_{m \times n}; A_{m \times s} O_{s \times n} = O_{m \times n}$

$m \times n$ 矩阵:

$A = a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn}$

把矩阵 A 的行换成同序数的列 $n \times m$ 得到的 $n \times m$ 矩阵称为矩阵 A 的转置矩阵记作 $A^{T}$

$A^{T} = a_{11} a_{12} ⋮ a_{1 n} a_{21} a_{22} ⋮ a_{2 n} \dots \dots ⋱ \dots a_{m 1} a_{m 2} ⋮ a_{nm}$

k 为常数， A B 为同型矩阵：

对称矩阵: n阶方阵 A 满足 $A^{T} = A$ 则称A为对称矩阵， $A^{T} = - A$ 则称A为反对称矩阵.